Persamaan schroedinger bebas waktu

Jika fungsi potensial tidak bergantung waktu, bagaimanakah bentuk persamaan Schroedinger untuk kasus dengan potensial bebas waktu V(x)?

Untuk kasus seperti itu persamaan gelombang Schroedinger  

Bila dilakukan separasi variable (pemisahan peubah) dalam solusi persamaan di atas sehingga lalu substitusikan dalam persamaan Schroedinger bebas waktu menghasilkan :

dan dapat ditulis pula kedalam bentuk :    

Dari persamaan di atas jelas terlihat bahwa ruas kiri dari persamaan tersebut hanya mengandung variable x, dan ruas tengah hanya mengandung variable t. Sedangkan persamaan itu berlaku untuk semua harga x maupun t. Hal ini hanya berlaku jika ruas kiri dan ruas tengah selalu bernilai tetap, misalkan sama dengan G.

Dengan demikian dapat diperoleh dua persamaan berikut :

Solusi dari persamaan dengan G = E, yang merupakan energy total partikel yang direpresentasikan oleh fungsi gelombang . Berikut penjelasannya :

Perhatikan persamaan   

dan lalu bandingkan

dengan persamaan maka didapat ungkapan :

sehingga otomatis nilai G sama besarnya dengan energi total partikel E.  Dengan demikian untuk kasus dengan fungsi potensial tidak bergantung waktu, diperoleh persamaan Schroedinger bebas waktu (PSBW) :

 dengan fungsi gelombang total:

persamaan , yang dapat ditulis sebagai  dinamakan persamaan harga eigen, dan harga tetap E yang merupakan solusi yang dikenal sebagai nama persamaan karakteristik, suatu topik penting dalam pembelajaran tentang persamaan diferensial.